Obsah

• Kroky
• Tipy

Matematika je odvětví matematiky zaměřené na limity, funkce, deriváty, integrály a nekonečné řady. Toto téma tvoří velkou část matematiky a slouží jako základ mnoha rovnic schopných popsat fyziku a mechaniku. Pravděpodobně budete potřebovat univerzitní kurzy, aby vám začaly dobře rozumět, ale tento článek bude sloužit jako úvod a pomůže vám nahlédnout do důležitých konceptů a technických bodů.

Kroky

Metoda 1 ze 3: Kontrola základů výpočtu

1. 

   Pochopte, že počet je studie o tom, jak se věci mění. Toto je odvětví matematiky, které analyzuje řádky a čísla, obvykle pocházející ze skutečného světa, a tvoří mapu toho, jak se v průběhu času měnily. I když se to nezdá být tak užitečné a priori, počet je jednou z nejpoužívanějších odvětví matematiky na světě. Představte si, že máte k dispozici nástroje k prozkoumání rychlosti růstu vaší firmy nebo k vytvoření grafu trajektorie rakety a její spotřeby paliva. Kalkul je důležitým nástrojem ve strojírenství, ekonomice, statistice, chemii a fyzice, kromě toho, že pomáhá s objevy a vytvářením mnoha skutečných vynálezů.

2. 

   
   
   Pamatujte, že funkce představují vztahy mezi dvěma čísly a používají se k mapování vztahů v reálném světě. Funkce jsou pravidla, podle nichž jsou čísla navzájem příbuzná - a matematici je používají k vytváření grafů. Ve funkci má každý vstup přesně jeden výstup. Například, v, každá hodnota přináší novou hodnotu. Pokud ano. Pokud naopak, pak. Všechny výpočty studují funkce s cílem analyzovat jejich změny a používat je k mapování vztahů v reálném světě.
   • Funkce jsou obvykle psány ve formátu. Jinými slovy, funkce se vždy přidá k jakémukoli číslu reprezentovanému. Pokud se vám například hodí, stačí napsat nebo.
   • Funkce mohou také mapovat složité pohyby. NASA má například funkci schopnou popsat rychlost rakety na základě množství spotřebovaného paliva, odporu vzduchu a jeho hmotnosti.

3. 

   
   
   Pomysli na koncept nekonečna. Dochází k tomu, když proces opakujete nepřetržitě a neurčitě. Nejedná se o konkrétní prostor (nemůžete jít do nekonečna), ale o chování čísla nebo rovnice, která neustále postupuje. To je důležité při analýze varianty: možná budete chtít znát rychlost automobilu v jednom bodě, ale představuje to sekundu? Milisekunda? Nanosekunda? Mohli byste najít hodnoty pro neuvěřitelně přesná období - a to je místo, kde výpočet pracuje s magií.

4. 

   
   
   Porozumět pojmu limity. Limit udává, co se stane, když se něco přiblíží k nekonečnu. Vezměte číslo a rozdělte jej. Pokračujte v jeho dělení nepřetržitě. Číslo se změní v, na, v, do atd. S každou novou iterací se počet zmenšuje a „přibližuje se“. Ale kde to skončí? Kolikrát ji musíte rozdělit, abyste se dostali? Při výpočtu místo odpovědi na tuto otázku definujete a omezit. V tomto případě je limit.
   • Limity jsou snáze vidět na grafu - jsou to téměř dotčené body, ale nikdy přímo.
   • Limity mohou být číslo, nekonečné nebo dokonce neexistující. V jednom příkladu byste mohli navždy sčítat a hodnota by byla nekonečně velká. Limit by byl zase nekonečný.

5. 

   Prohlédněte si základní matematické pojmy z algebry, trigonometrie a precalculu. Výpočet je založen na mnoha důsledcích matematiky, které jste se naučili po celý život. Dobré poznání jim velmi usnadní učení a porozumění této disciplíně. Některé z nich by měly být přezkoumány:
   • Algebra. Pochopit různé procesy a být schopen řešit rovnice a systémy rovnic s více proměnnými. Porozumět základním pojmům množin. Graf rovnice.
   • Geometrie. Geometrie je studium forem. Porozumět základním konceptům trojúhelníků, čtverců a kruhů a jak provádět výpočty, jako je plocha a obvod. Pochopit úhly, čáry a souřadnicové systémy.
   • Trigonometrie. Trigonometrie je odvětví matematiky, které se zabývá vlastnostmi kruhů a pravoúhlých trojúhelníků. Naučit se používat trigonometrické identity, grafy, funkce a inverzní trigonometrické funkce.

6. 

   Kupte si grafickou kalkulačku. Výpočet není snadnou oblastí k pochopení, aniž byste viděli, co děláte. Grafické kalkulačky přijímají funkční data a zobrazují je vizuálně, což umožňuje lepší porozumění psaným a manipulovaným rovnicím. Často je také možné vidět limity na obrazovce a vypočítat deriváty a funkce automaticky.
   • Mnoho telefonů a tabletů již nabízí velmi kompetentní grafické aplikace, pokud si nechcete koupit grafickou kalkulačku.

Metoda 2 ze 3: Porozumění derivátům

1. 

   Pochopte, že výpočet se používá ke studiu „okamžité variace“. Základem celého výpočtu je vědět, proč se v okamžiku něco mění. Označuje například nejen rychlost automobilu, ale také to, jakým tempem se v daném okamžiku mění. Toto je jedno z nejjednodušších způsobů použití počtu, i když stále neuvěřitelně důležité. Představte si, jak užitečné budou tyto znalosti při analýze rychlosti rakety, která se snaží dostat na Měsíc!
   • Výpočet okamžité variace je něco, čemu se říká diferenciace. Diferenciální počet je první ze dvou hlavních oblastí.

2. 

   Pomocí derivátů pochopíte, jak se věci mění okamžitě. "Derivace" je fantazijní termín, který přináší úzkost mnoha. Tento koncept však není tak obtížné pochopit - znamená to pouze „rychlost změny něčeho“. Nejběžnější deriváty v každodenním životě jsou spojeny s rychlostí. Pravděpodobně neřeknete „odvozeno od rychlosti“, ale zrychlení.
   • Zrychlení je samo o sobě derivát - ukazuje, jak rychle se něco zrychluje nebo zpomaluje nebo mění rychlost.

3. 

   Pochopte, že míra změny je sklon mezi dvěma body. Toto je jeden z klíčových bodů ve výpočtu. Míra změny mezi dvěma body se rovná sklonu čáry, která je spojuje. Přemýšlejte o základní linii, jako v případě rovnice. Jeho sklon by se rovnal, což naznačuje, že pro každou novou hodnotu se liší v jednotkách. Sklon je stejný koncept jako rychlost změny - sklon rovný znamená, že se linie mění v jednotkách pro každou změnu. Když , . Když , .
   • Sklon čáry je variace vděleno variací v .
   • Čím vyšší je svah, tím strmější je rovina. Lze říci, že tyto případy se velmi rychle mění.
   • Pokud si nepamatujete, jak najít sklon čáry, zapamatujte si tyto pojmy.

4. 

   Uvědomte si, že můžete vypočítat sklon zakřivených čar. Nalezení sklonu čáry je obvykle velmi jednoduchý proces: kolik se liší pro každou hodnotu? Složitější rovnice zahrnující zakřivené čáry jsou mnohem obtížněji definovatelné. Přesto je možné najít rychlost změny mezi dvěma body - stačí nakreslit čáru mezi nimi a vypočítat sklon.
   • Například můžete analyzovat libovolné dva body a získat tak sklon. Pozorujte a. Sklon mezi nimi by byl ekvivalentní. Jinými slovy, rychlost změny mezi a je stejná.

5. 

   Přibližte body blíže k sobě pro přesnější rychlost změn. Čím blíž jsou, tím přesnější bude vaše odpověď. Předpokládejme, že chcete vědět, jak moc vaše auto zrychluje v okamžiku, kdy stisknete pedál. Nejedná se o měření rozdílů mezi vaším domovem a trhem, ale přesně v okamžiku, kdy je pedál stlačen. Čím přesnější je měření v tomto okamžiku, tím přesnější bude také.
   • Mnoho vědců například studuje, jak rychle některé druhy vyhynou, aby je zachránily. V zimě však umírá více zvířat než v létě, takže studium této variace po celý rok není tak užitečné - mezi přesnějšími body najdou mnohem přesnější výsledky, například mezi prvními dny července a srpna.

6. 

   Použijte nekonečně malé řádky k nalezení „okamžité rychlosti změny“ nebo derivátu. To je to, kde se výpočet stává zmatenější, ale je to pouze výsledek dvou jednoduchých faktů. Nejprve víte, že sklon čáry je ekvivalentní rychlosti této variace. Za druhé, víte, že čím jsou body na této lince, tím přesnější bude vaše čtení. Jak ale určit rychlost změny v jednom bodě, pokud je sklon vztahem mezi dvěma body? Odpověď: vyberete dva body nekonečně blízko sebe.
   • Přemýšlejte o příkladu, kde jste se dál dělali postupně, sáhli, a, atd. V určitém okamžiku jste se dostali tak blízko, že odpověď se stala „prakticky“. Zde jsou body tak blízko sebe, že jsou považovány za „prakticky okamžité“. To je povaha derivátů.

7. 

   Naučte se, jak zacházet s různými deriváty. Existuje mnoho různých technik pro výpočet derivátu v závislosti na rovnici, ale většina z nich má smysl, pokud si pamatujete základní zásady zmíněné výše. Nejsou ničím jiným než prostředkem výpočtu sklonu její „nekonečně malé“ linie. Nyní, když znáte teorii za deriváty, bude velká část práce na nalezení odpovědí.

8. 

   Najděte derivační rovnice pro predikci rychlosti změny v kterémkoli bodě. Použití derivátů k dosažení rychlosti změny v jednom bodě je docela užitečné, ale krása výpočtu spočívá v možnostech, které přináší vytvoření nového modelu pro každou funkci. Například derivát by byl. Jinými slovy, derivát každého bodu v grafu můžete určit jeho jednoduchým vložením do nalezeného vzorce. V bodě, kde bude derivát stejný, protože.
   • Pro deriváty existují různé zápisy. V předchozím kroku byly označeny apostrofem - derivátem psaní jako („epsilon line“). Toto je Lagrangeův zápis.
   • Existuje také další populární způsob psaní derivátů. Místo použití apostrofu budete psát. Nezapomeňte, že funkce závisí na proměnné. Proto je derivát psán jako, tj. Derivát s respektem . Toto je Leibnizův zápis.

9. 

   Pokud máte stále potíže, pamatujte skutečné příklady derivátů. Nejjednodušší příklad je založen na rychlosti, která nabízí každý den několik různých derivátů. Nezapomeň: 'derivát je měřítkem změny rychlosti. Pomyslete na základní experiment: válíte kuličky na stůl a změříte, jak daleko se pohybuje a jakou rychlostí. Nyní si představte, že mramor promítá čáru do grafu - pomocí derivátů změříte okamžité variace v kterémkoli místě v grafu.
   • Jak rychle mění mramor polohu? Jaká je míra změny nebo odvození tohoto pohybu? Tento derivát představuje to, čemu říkáte rychlost.
   • Vrhněte mramor dolů po nakloněné rovině a sledujte, jak rychle získává rychlost. Jaká je míra změny nebo odvozená z této rychlosti? Tento derivát představuje to, čemu říkáte „zrychlení“.
   • Roll mramor dolů po cestě, která jde nahoru a dolů jako horská dráha. Jak dlouho to zrychlí na cestě dolů nebo ztratí na cestě nahoru? Jaká je její rychlost přesně v polovině? To by byla okamžitá nebo odvozená rychlost změny mramoru v tomto přesném bodě.

Metoda 3 ze 3: Porozumění integrálům

1. 

   Pochopte, že výpočet se používá k nalezení složitých oblastí a svazků. Umožňuje měřit složité tvary, které by jinak byly příliš obtížné. Přemýšlejte například o tom, že zjistíte, kolik vody je ve velkém nerovnoměrném jeze - nebylo by možné měřit každý galon vody samostatně nebo použít k určení jeho tvaru pravítko. Výpočet umožňuje analyzovat, jak se mění okraje jezera, a pomocí těchto údajů zjistit, kolik vody obsahuje.
   • Využívá se vytváření geografických modelů a studium svazků integrace. Toto je druhá hlavní část výpočtu.

2. 

   Pochopte, že integrace najde oblast, která existuje pod grafem. Používá se k posouzení toho, kolik místa je v každé linii, což vám umožňuje vypočítat oblast v podivných a nepravidelných tvarech. Vezměte rovnici, která vytváří obrácené "U". Možná budete chtít zjistit, kolik prostoru je pod ním - a můžete zjistit pomocí integrace. Ačkoli se to zdá zbytečné znalosti, přemýšlejte o možných použitích při šití: můžete vytvořit funkci, která vypadá jako nová sekce a integrovat ji, aby určila vaši oblast, a tak poznat správné množství materiálu, který se má použít.

3. 

   Pochopte, že musíte vybrat oblast, kterou chcete integrovat. Není možné integrovat pouze celou funkci. Například máte diagonální čáru, která pokračuje navždy a nelze ji plně integrovat, protože nikdy nekončí. Při integraci funkcí je nutné zvolit oblast, jako při definování všech bodů mezi a.

4. 

   Nezapomeňte, jak získat oblast obdélníku. Představte si, že máte na grafu čáru. Chcete-li určit oblast pod ní, bylo by to jako vypočítat plochu obdélníku mezi a. Je to snadné, ale nikdy nebude fungovat se zakřivenými čarami, které nelze snadno přeměnit na obdélníky.

5. 

   Pochopte, že integrace přidá několik malých obdélníků pro výpočet plochy. Když se blíží k křivce, vypadá to rovně. Stává se to i ve vašem každodenním životě - nemůžete si všimnout zakřivení Země, protože jsme příliš blízko povrchu. Integrace vytváří nekonečný počet malých obdélníků pod křivkou tak malou, že se zdá, že postrádá hloubku, což usnadňuje měření. Přidejte je dohromady, abyste dostali oblast pod křivku.
   • Představte si, že pod graf přidáte několik velmi tenkých plátků, přičemž šířka každého z nich bude „další“.

6. 

   Naučte se správně číst a zapisovat integrály. Oni přijdou ve čtyřech částech, s integrál obyčejně vyjádřený takto:
   
   
   • První symbol ,, je zodpovědný za integraci (protáhlý 'S').
   • Druhá část ,, představuje její funkci. Když je uvnitř integrálu, nazývá se integrace.
   • Konec nakonec označuje, s jakou proměnnou integrujete. Protože funkce závisí na tom, integrace musí být provedena s ohledem na to.
   • Nezapomeňte, že integrovaná proměnná nebude vždy, proto buďte opatrní, co píšete.

7. 

   Naučte se, jak vypočítat integrály. Integrace přichází v mnoha podobách a budete se muset naučit několik různých vzorců, abyste mohli integrovat všechny funkce. Všichni se však řídí výše uvedenými zásadami: integrace vždy přispívá k nekonečnému počtu věcí. Mezi některé způsoby patří:
   • Náhradní integrace;
   • Vypočítat neurčité integrály;
   • Integrace po částech.

8. 

   Pochopte, že integrace zvrací účinek diferenciace a naopak. Toto je základní pravidlo v počtu, které je natolik důležité, že si vysloužilo své vlastní jméno: Základní věta o počtu. Protože integrace a diferenciace spolu úzce souvisejí, lze kombinaci obou použít k odhalení rychlosti změn, zrychlení, rychlosti, polohy, pohybu atd., Bez ohledu na informace, které máte k dispozici.
   • Nezapomeňte například, že derivací rychlosti je zrychlení, takže můžete použít jednu, abyste se dostali k druhému. Avšak pouze pokud znáte zrychlení něčeho (jako padající předměty v důsledku gravitační síly), je možné integrovat za účelem výpočtu rychlosti!

9. 

   Vezměte na vědomí, že integrace také umožňuje vypočítat objem trojrozměrných objektů. Rotace tvaru je skvělý způsob, jak vytvořit trojrozměrné pevné látky. Představte si, že se před vámi točí mince na stole - sledujte, jak se během jeho rotace tvoří koule. Tento koncept najdete pro výpočet objemu v procesu známém jako „objem na otáčku“.
   • Tato metoda umožňuje určit objem jakékoli pevné látky na světě, pokud existuje funkce, která ji zrcadlí. Je možné vytvořit funkci, která například definuje dno jezera a použít jej ke stanovení jeho objemu (nebo množství vody, kterou obsahuje).

Tipy

• Zeptejte se na otázky po konzultaci s učitelem.
• Cvičení vede k dokonalosti. Proveďte fixační cvičení v učebnici (včetně těch, které učitel neprošel) a přečtěte si odpovědi, které vám pomohou porozumět minulým konceptům.